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桁が一つ動く度に数が十二倍変わるため、小数第一位は「十二分の一の位」、小数第二位は「百四十四分の一の位」となる。従って、十二進法では:

  • (0.1)12 = 1/12 (1×12-1)
  • (0.5)12 = 5/12 (5×12-1)
  • (0.A)12 = 10/12 (10×12-1)
  • (0.01)12 = 1/144 (1×12-2)
  • (0.03)12 = 3/144 (3×12-2)
  • (0.14)12 = 16/144 (1×12-1 + 4×12-2)
  • (0.76)12 = 90/144 (7×12-1 + 6×12-2)
  • (0.001)12 = 1/1728 (1×12-3)

を、それぞれ意味する。

計算例[]

(3.9)Template:Sub×6 = (1A.6)Template:Sub

小数の (3.9)12 は、十進分数で「45/12」、六進分数で「113/20」を意味し;小数の (0.39)12 は十進分数で「45/144」、六進分数で「113/400」という意味になる。従って、十進数の (3.75)Template:Sub や六進数の (3.43)Template:Sub は十二進数では (3.9)12 で一桁になり、十進数の (0.3125)Template:Sub や六進数の (0.1513)Template:Sub は十二進数では (0.39)12 で二桁になる(二十進数も同様)。このように、小数の桁が縮まる要因は、十進法六進法単偶数進法なのに対して、十二進法は「奇数の四倍」進法だからである。

十進数では、前者は 3 + 75/100 (= 3/4) と 3 + 9/12 (= 3/4) が 15/4 で同値となり、後者は 3125/10000 (= 3125/104 = 5/16) と 45/144 (= 45/122 = 5/16) が同値になる。六進数でも、前者は 3 + 43/100{= (27/36)Template:Sub = 3/4}と 3 + 13/20{= (9/12)Template:Sub = 3/4}が 23/4{= (15/4)Template:Sub}で同値となり、後者は 1513/10000{= 1513/104 = 5/24 = (5/16 = 405/1296)Template:Sub}と 113/400 (= 113/202 = 5/24) が同値になる。

以下、十進換算値で対比する。

  • (390)12 = 3×122 + 9×121 = (540)10
  • (39)12 = 3×121 + 9 = (45)10
  • (3.9)12 = 3 + 9×12-1 = 45/12 = 15/4 = (3.75)10
  • (0.39)12 = 3×12-1 + 9×12-2 = 36/144 + 9/144 = 45/144 = 5/16 = (0.3125)10

同じく、十二進法の (0.39)12×(6)12 の積は (1.A6)12 となり、(3.9)12×(6)12 の積は (1A.6)12 となる。

  • (1A6)12 = 1×122 + 10×121 + 6 = (270)10
  • (1A.6)12 = 1×121 + 10 + 6×12-1 = 270/12 = 90/4 = (22.5)10
  • (1.A6)12 = 1 + 10×12-1 + 6×12-2 = 1 + 120/144 + 6/144 = 270/144 = 30/16 = (1.875)10

これらの数式を、十進法や六進法の小数や分数に換算すると、以下のようになる。

  • 数式A
    • 十二進法:(39)12 × (6)12 = (1A6)12
    • 十進法に換算:45 × 6 = 270
    • 六進法に換算:113 × 10 = 1130
  • 数式B
    • 十二進法:(3.9)12 × (6)12 = (1A.6)12
    • 十進法の小数に換算:3.75 × 6 = 22.5
    • 十進法の分数に換算(桁に合わせる):45/12 (= 45/121) × 6 = 270/12 (= 270/121)
    • 十進法の分数に換算(約分する):(15/4) × 6 = (90/4)
    • 六進法の小数に換算:3.43 × 10 = 34.3
    • 六進法の分数に換算(桁に合わせる):113/20 (= 113/201) × 10 = 1130/20 (= 1130/201)
    • 六進法の分数に換算(約分する):(23/4) × 10 = (230/4)
  • 数式C
    • 十二進法:(0.39)12 × (6)12 = (1.A6)12
    • 十進法の小数に換算:0.3125 × 6 = 1.875
    • 十進法の分数に換算(桁に合わせる):45/144 (= 45/122) × 6 = 270/144 (= 270/122)
    • 十進法の分数に換算(約分する):(5/16) × 6 = (30/16)
    • 六進法の小数に換算:0.1513 × 10 = 1.513
    • 六進法の分数に換算(桁に合わせる):113/400 (= 113/202) × 10 = 1130/400 (= 1130/202)
    • 六進法の分数に換算(約分する):(5/24) × 10 = (50/24)
57.6÷9

57.6÷9 および (57.6)12 ÷ (9)12 の商は、以下の通りとなる。

  • 十進法: 57.6 ÷ 9 = 6.4
  • 十二進法: (57.6)12 ÷ (9)12 = (7.6)12

桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、(576)10 は 64×9 だが、(576)12 は (810)Template:Sub、つまり十進換算値が 90×9 である。(576)12を桁で分解すると、5×122 + 7×121 + 6 = 720 + 84 + 6 = 810 となる。

更に、十進法の 576÷9 = 64 も、十二進法では (400)12 ÷ (9)12 = (54)12 となる。

  • 十進法: 576 ÷ 9 = 64
  • 十二進法: (400)12 ÷ (9)12 = (54)12

(576)10 を十進数で分解すると、十進法では 5×102 + 7×101 + 6 = 500 + 70 + 6 で 576 となるが、十二進法では 4×122 で (400)12となる。(50)12 は 60Template:Sub なので、4 を加えた (54)12 も (64)Template:Sub に等しい。別の言い方をすると、「五六個の九分割は六十四個」は「四グロスを九人で分けて、五ダース四個」になるのに対して、「五グロス七ダース六個の九分割は七ダース六個」は「八百十個の九分割は九十個」になるとも言える。このように、十二進法では、「400個」の物品を3人や9人でぴったり分けることができる。

576÷9の商
十二進法 十進法に換算
576÷9 = 76 810÷9 = 90
400÷9 = 54 576÷9 = 64
3の冪数による除算

十二進法は因数に3が含まれているので、除数が3の冪数であれば割り切れる数になる。但し、十二進法は10の素因数分解が2Template:Sup×3なので、3の冪数による除算は、小数点を消した値が「2の偶数乗を掛けた値」になる。例えば、除数が3Template:Supだと、逆数の分子は2Template:Sup=2Template:Supになる(→詳細はこちらも参照すること)。

  • 2Template:Sup ÷ 3Template:Sup(十進分数 8/27
    • 十二進法:(8)Template:Sub ÷ (23)Template:Sub = (0.368)Template:Sub
    • 六進法:(12)Template:Sub ÷ (43)Template:Sub = (0.144)Template:Sub
    • 十分の三」は、十進法が(0.3)Template:Sub、六進法が(0.14444…)Template:Subに対して、十二進法では(0.37249…)Template:Subになる。「十分の三」の近似値である「二十七分の八」は、六進法が(0.144)Template:Subに対して、十二進法では(0.368)Template:Subで分子・分母が六進法の八倍になる。十二進分数 Template:Sfrac の六進換算値は Template:Sfrac = Template:Sfrac になる。
  • 8Template:Sup ÷ 9Template:Sup(= 2Template:Sup ÷ 3Template:Sup、十進分数 64/81
    • 十二進法:(54)Template:Sub ÷ (69)Template:Sub = (0.9594)Template:Sub
    • 六進法:(144)Template:Sub ÷ (213)Template:Sub = (0.4424)Template:Sub
    • それぞれの小数を六進分数に換算すると、(0.9594)Template:Sub = Template:Sfrac = (Template:Sfrac)Template:Sub、(0.4424)Template:SubTemplate:Sfrac = (Template:Sfrac)Template:Sub、203504 ÷ 24 = 4424 となる。十二進数で分解すると、9594 ÷ 54 = 194 = 2Template:Sup = 2Template:Supになる。
  • (2Template:Sup×5Template:Sup) ÷ 3Template:Sup(十進分数 500/729
    • 十二進法:(358)Template:Sub ÷ (509)Template:Sub = (0.829228)Template:Sub
    • 六進法:(2152)Template:Sub ÷ (3213)Template:Sub = (0.404052)Template:Sub
    • 十二進法と六進法の両方とも、3Template:Sup(七百二十九分割)は小数点以下六桁になる。分数に換算すると、六進法だと (0.404052)Template:Sub = (Template:Sfrac)Template:Sub = (Template:Sfrac)Template:Subになるが、十二進法だと (0.829228)Template:Sub = (Template:Sfrac = Template:Sfrac)Template:Sub = (Template:Sfrac)Template:Subになる。
    • 六進法の3Template:Supは分子が2Template:Sup=144Template:Sub=64Template:Sub、分母が23000Template:Sub=1000000Template:Sub=46656Template:Subに対して;十二進法で3Template:Supをすると、分子は2Template:Sup2454Template:Sub=30544Template:Sub=4096Template:Sub、分母は1000000Template:Sub144000000Template:Sub=2985984Template:Subで分子・分母が六進法の六十四倍になり、分母は二十の五乗(10A3A28Template:Sub=3200000Template:Sub)、六の八乗(690000Template:Sub=1679616Template:Sub)、十の六乗(402854Template:Sub1000000Template:Sub)に近い数値になる。なお、十二の六乗、二十の五乗、六の八乗の三つは、最大公約数が2Template:Supになる。
素因数に3が含まれない冪数の除算

十進法100Template:Sub や 1000Template:Sub など十の冪数二十進法の 100Template:Sub(=400Template:Sub)や 1000Template:Sub(=8000Template:Sub)など二十の冪数、十六進法の 100Template:Sub(=256Template:Sub)など二の冪数進法による冪数は、39で割り切れないが、十二進法では割り切れる(六進法も同様)。十進法の 100Template:Sub は十二進法では 84Template:Sub、十六進法の 100Template:Sub は十二進法では 194Template:Sub となる(→他の商は後述)。

  • 1/3 メートル
    • 十進法:100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル
    • 十二進法:(84)Template:Sub ÷ 3 = (29.4)Template:Sub センチメートル
  • 1/3 リットル
    • 十進法:1000 ÷ 3 = 333.3333… ミリリットル
    • 十二進法:(6B4)Template:Sub ÷ 3 = (239.4)Template:Sub ミリリットル
  • 1/9 キロメートル
    • 十進法:1000 ÷ 9 = 111.1111… メートル
    • 十二進法:(6B4)Template:Sub ÷ 9 = (93.14)Template:Sub メートル
  • 2Template:Sup ÷ 3 (十進換算:256 ÷ 3)
    • 十六進法:(100)Template:Sub ÷ 3 = 55.5555…
    • 十二進法:(194)Template:Sub ÷ 3 = 71.4
  • 1/3バク(※「バク」はマヤ数詞で四百。十進換算:400 ÷ 3)
    • 二十進法:(100)Template:Sub ÷ 3 = 6D.6D6D…
    • 十二進法:(294)Template:Sub ÷ 3 = B1.4

素因数が2と3なので、3が因数に含まれない数が被除数になっても、3の「冪数」では割り切れるが、3の「倍数」でも該当しない例もある。

  • (3Template:Sup×7) ÷ 3Template:Sup(十進法だと 63 ÷ 27)
    • 十二進法:(53)Template:Sub ÷ (23)Template:Sub = (2.4)Template:Sub
    • 十六進法:(3F)Template:Sub ÷ (1B)Template:Sub = (1.5555…)Template:Sub
    • 二十進法:(33)Template:Sub ÷ (17)Template:Sub = (2.6D6D…)Template:Sub
  • (3Template:Sup×7) ÷ (2×3×5)(十進法だと 63 ÷ 30)
    • 十二進法:(53)Template:Sub ÷ (26)Template:Sub = (2.124972497…)Template:Sub
    • 十六進法:(3F)Template:Sub ÷ (1E)Template:Sub = (2.1999…)Template:Sub
    • 二十進法:(33)Template:Sub ÷ (1A)Template:Sub = (2.2)Template:Sub
「100」分率

十二進法で「100」を満点や全体値とすると、十進法の「百分率」に対して、十二進法では「百四十四分率」となる。百四十四分率をそのまま十二進数で適用すると、3や6や9では割り切れるが、5やA(十)では割り切れない。5やAで割り切る場合には、十進数または二十進数に直すことになる。

  • 3分割
    • 十二進法:(100)Template:Sub ÷ 3 = (40)Template:Sub
    • 十進法に換算:144 ÷ 3 = 48
    • 二十進法に換算:(74)Template:Sub ÷ 3 = (28)Template:Sub
  • 5分割
    • 十二進法:(100)Template:Sub ÷ 5 = (24.9724…)Template:Sub
    • 十進法に換算:144 ÷ 5 = 28.8
    • 二十進法に換算:(74)Template:Sub ÷ 5 = (18.G)Template:Sub

一桁小数による分割[]

十二進法では (0.1)Template:Sub が「十二分の一」になるため、(0.3)Template:Sub1/4 になり、(0.4)Template:Sub1/3 になり、(0.6)Template:Sub1/2 になり、(0.A)Template:Sub(十進法で10/12)は 5/6 になる。その他、m/n として分数化できる一桁小数として、(0.8)Template:Sub2/3 となり、(0.9)Template:Sub3/4 となる。

従って、ある数値に (0.4)Template:Sub を掛けると 1/3 になり、(0.9)Template:Sub を掛けると 3/4 になる。位取りに応用すると、Nの8倍は、Nの十二倍を 2/3 にした数値になる。このように、一桁小数で三分割と四分割が可能になる(ただし、五分割はできない)。他のN進法との連関では、1/3 である (0.4)Template:Sub六進法の (0.2)Template:Sub と同値になり、1/4 である (0.3)Template:Sub二十進法の (0.5)Template:Sub と同値になる。

8倍と0.8
  • 十二を掛ける:(76)Template:Sub × (10)Template:Sub = (760)Template:Sub(十進法:90の 12倍 は1080。六進法:230 × 20 = 5000)
  • 8を掛ける: (76)Template:Sub × (8)Template:Sub = (500)Template:Sub(十進法:90の 8倍 は720。六進法:230 × 12 = 3200)
  • 0.8を掛ける:(760)Template:Sub × (0.8)Template:Sub = (500)Template:Sub(十進法:1080の 2/3 は720。六進法:5000 × 0.4 = 3200)
除算と一桁小数
  • 除算:(76)Template:Sub ÷ (3)Template:Sub = (26)Template:Sub(十進法:90 ÷ 3 = 30。六進法:230 ÷ 3 = 50)
    • 一桁小数を掛ける:(76)Template:Sub × (0.4)Template:Sub = (26)Template:Sub(十進法:90の 1/3 は30。六進法:230 ×0.2 = 50)
    • 一桁小数を掛ける:(76)Template:Sub × (0.8)Template:Sub = (50)Template:Sub(十進法:90の 2/3 は60。六進法:230 ×0.4 = 140)
  • 除算:(760)Template:Sub ÷ (4)Template:Sub = (1A6)Template:Sub(十進法:1080 ÷ 4 = 270。二十進法:2E0 ÷ 4 = DA)
    • 一桁小数を掛ける:(760)Template:Sub × (0.3)Template:Sub = (1A6)Template:Sub(十進法:1080の 1/4 は270。二十進法:2E0 × 0.5 = DA)
    • 一桁小数を掛ける:(760)Template:Sub × (0.9)Template:Sub = (576)Template:Sub(十進法:1080の 3/4 は810。二十進法:2E0 × 0.F = 20A)

小数との置換表[]

以下の表に、十二進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。十二はと四では割り切れるがでは割り切れないため、五で割った際に循環小数になって割り切れない例が多数発生する。五が対応できなくても四と三が対応できることから、十二進法は「小から大へ」の分割法を採っているのが特徴である。

可分性が最も上がる例は、「5の倍数」が被除数になるパターンである。このパターンでは、7の倍数とB(十一)の倍数を除いてほぼ割り切れる。「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンでは、(16)Template:Sub=(18)Template:Subまでの3の倍数のうち、割り切れない数は(13)Template:Sub=(15)Template:Subだけとなる。

また、六進法は「10 - 1」が5になり、1/5の小数が1111Template:Sub259Template:Sub(=(37×7)Template:Sub)の倍数となって循環し、(m/41)Template:Sub=(m/25)Template:Subの小数は1235Template:Sub311Template:Subの倍数五桁が循環する。これに対して、十二進法は「10 - 1」がB(十進法の11)で5の倍数ではないので、1/5の循環小数は 0.2497…で四桁になり、これに最も近い37Template:Subの倍数は 2494Template:Sub(=31104Template:Sub=4144Template:Sub=(37×7×16)Template:Subとなる。そして、(m/25)Template:Subの小数は、循環節が「05915 343A0 B62A6 8781B」の二十桁で、先頭五桁が5915となるが、これは十進法に直すと9953 (= 311×32 + 1)Template:Sub)となる。四桁に丸めた近似値も、六進法では (Template:Sfrac)Template:Sub = Template:Sfrac から 124 = 52Template:Sub となり、十二進法では 分子・分母を十六倍した (Template:Sfrac)Template:Sub = Template:Sfrac から 594 = 832Template:Sub となる。

十二進法の小数と除算
除数 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
被除数が1 0.6 0.4 0.3 0.2497 0.2 0.186A35 0.16 0.14 0.12497 0.111 0.1
被除数が5 2.6 1.8 1.3 1 0.A 0.86A351 0.76 0.68 0.6 0.555 0.5
被除数が8 4 2.8 2 1.7249 1.4 1.186A35 1 0.A8 0.9724 0.888 0.8
被除数がA
(十進法の10
5 3.4 2.6 2 1.8 1.5186A3 1.3 1.14 1 0.AAA 0.A
被除数が10
(十進法の12)
6 4 3 2.4972 2 1.86A351 1.6 1.4 1.2497 1.111 1
被除数が15
(十進法の17)
8.6 5.8 4.3 3.4972 2.A 2.5186A3 2.16 1.A8 1.84972 1.666 1.5
被除数が26
(十進法の30)
13 A 7.6 6 5 4.35186A 3.9 3.4 3 2.888 2.6
被除数が50
(十進法の60)
26 18 13 10 A 8.6A3518 7.6 6.8 6 5.555 5
被除数が84
(十進法の100
42 29.4 21 18 14.8 12.35186A 10.6 B.14 A 9.111 8.4
被除数が93
(十進法の111
47.6 31 23.9 1A.2497 16.6 13.A35186 11.A6 10.4 B.12497 A.111 9.3
被除数が100
(十進法の144)
60 40 30 24.9724 20 18.6A3518 16 14 12.4972 11.111 10
被除数が194
(十進法の256
A8 71.4 54 43.2497 36.8 30.6A3518 28 24.54 21.7249 1B.333 19.4
被除数が294
(十進法の400
148 B1.4 84 68 56.8 49.186A35 42 38.54 34 30.444 29.4
被除数が6B4
(十進法の1000
358 239.4 18A 148 11A.8 BA.A35186 A5 93.14 84 76.AAA 6B.4
十二進法の小数と分数(五分割まで)
分数 1/2 (= 2/4) 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5
被除数が1 0.6 0.4 0.8 0.3 0.9 0.2497 0.4972 0.7249 0.9724
被除数が3 1.6 1 2 0.9 2.3 0.7249 1.2497 1.9724 2.4972
被除数が5 2.6 1.8 3.4 1.3 3.9 1 2 3 4
被除数が8 4 2.8 5.4 2 6 1.7249 3.2497 4.9724 6.4972
被除数が9 4.6 3 6 2.3 6.9 1.9724 3.7249 5.4972 7.2497
被除数が10
(十進法の12)
6 4 8 3 9 2.4972 4.9724 7.2497 9.7249
被除数が15
(十進法の17)
8.6 5.8 B.4 4.3 10.9 3.4972 6.9724 A.2497 11.7249
被除数が26
(十進法の30)
13 A 18 7.6 1A.6 6 10 16 20
被除数が50
(十進法の60)
26 18 34 13 39 10 20 30 40
被除数が76
(十進法の90)
39 26 50 1A.6 57.6 16 30 46 60
被除数が260
(十進法の360)
130 A0 180 76 1A6 60 100 160 200
無理数の換算表
主な無理数 十二進法 六進法 十進法 二十進法
円周率 3.184809 493B86… 3.050330 051415 1235… 3.141592 653589… 3.2GCEG9 GBHB74…
2の平方根 1.4B7917 0A07B7… 1.225245 314205 5233… 1.414213 562373… 1.85DE37 JGEJA8…
3の平方根 1.894B97 BB967B… 1.422042 321254 5451… 1.732050 807568… 1.ECG82B DDEG68…
5の平方根 2.29BB13 254051… 2.122553 553151 3031… 2.236067 977499… 2.4E8AHA B3J9F4…
黄金比 1.74BB67 728022… 1.341254 554353 4312… 1.618033 988749… 1.C7458F 5BJ9F4…
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